基本統計量とは、データの基本的な特徴を表す値のことで、代表値と散布度に区分できる。代表値とは、データを代表するような値のことで、例えば、平均値、最大値、最小値などがある。散布度とは、データの散らばり度合いを表すような値のことで、例えば、分散、標準偏差などがある。

平均値 (mean)

平均値は、データの値をすべて足して、その個数で割った数値である。例えば、データの集合{1,2,3,4,5}ならば平均値3である。注意していただきたいのは、データの集合の中に極端に他の値と異なる値があった場合である。例えば、データ集合{1,2,3,4,5,100000}の平均値は果たしてデータを代表しているだろうか。平均値には、必ずこのような問題が付きまとうので、ヒストグラムなどでデータの分布を確認するのが望ましい。

Rで平均値を計算するソースコード


> x  mean(x)
[1] 5.843333

中央値 (median)

中央値は、データを昇順で並び替えたときの真ん中の値のことである。データの個数が奇数のときは、ちょうど真ん中の数値であり、データの個数が偶数のときは、真ん中の2つの数値の平均値である。

もう少し正確に記載すると、n個の数値データの集合を x1≦x2≦…≦xn と並び替えたとき、次の値が中央値となる。

  • nが偶数 (even) の場合:\frac{1}{2}(x_{\frac{1}{2}n} + x_{\frac{1}{2}n+1}})
  • nが奇数 (odd) の場合:x_{\frac{1}{2}(n+1)}

例えば、データの集合{1,2,3,4,5}ならば中央値3、データの集合{1,2,3,4}ならば中央値2.5となる。

Rで中央値を計算するソースコード


> x  median(x)
[1] 5.8

最頻値 (mode)

最頻値とは、データの集合の中で、最も頻繁に現れる値のことである。例えば、データの集合{1,2,2,3,4,5}ならば最頻値2となる。

ただし、一般に数値データの集合の場合、同じ数値が頻繁に現れることは少ない。このときは、数値データの度数分布表を作成し、最も度数が高い階級の階級値を最頻値とする。度数分布表の階級の取り方により、最頻値が変わってしまうことに注意しておきたい。

Rで最頻値を計算するソースコード


> x  names(which.max(table(x)))
[1] "5"

最大値 (maximum)

最大値とは、データの集合の中で、最も大きい値のことである。例えば、データの集合{1,2,3,4,5}ならば最大値5となる。

Rで最大値を計算するソースコード


> x  max(x)
[1] 7.9

最小値 (minimum)

最小値とは、データの集合の中で、最も小さい値のことである。例えば、データの集合{1,2,3,4,5}ならば最小値1となる。

Rで最小値を計算するソースコード


> x  min(x)
[1] 4.3

分散 (variance)

平均値からの散らばり具合を表す数値を分散といい、次式で定義する。ただし、\overline{x}は平均値とする。

    \[\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}(x_{i}-\overline{x})^2\]

標準偏差 (standard deviation)

標準偏差とは、分散の正の平方根の値のことである。

なぜわざわざ分散の正の平方根を標準偏差と改めて名前をつけているのかについて、簡単に説明する。

例えば、花びらのがく片の長さの集団を考える。

このとき、分散の式を見ると、2乗した値となっていることから、分散の単位は「長さ×長さ」となっている。標準偏差は、この分散の平方根を取ることにより、単位を「長さ」に戻しているとみることができる。

平均値などは単位が変わらないのに、分散を考えると単位が変わってしまうのでは扱い難い。そこで、同じ単位の枠内で扱えるように分散を変更したのが標準偏差であるといえる。
basic_statistics_variance

歪度 (わいど, skewness)

歪度とは、分布の非対称性を表す値のことである。

  • 歪度<0:左に裾が長い(右に偏った)分布
  • 歪度=0:正規分布と同じ
  • 歪度>0:右に裾が長い(左に偏った)分布

basic_statistics_skewness

Rで歪度を計算するソースコード


> x  mean((x-mean(x))^3)/(sd(x)^3)
[1] 0.3086407

尖度 (せんど, kurtosis)

尖度とは、分布の尖り度合いを表す値のことである。

  • 尖度<3:なだらかな分布
  • 尖度=0:正規分布のときは尖度は3
  • 尖度>3:尖っている分布

Rで尖度を計算するソースコード


> x  mean((x-mean(x))^4)/(sd(x)^4)
[1] 2.394187

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